Учебник "еврейский народ в эллинистическом мире". VIII

"Случалось ли вам когда-нибудь наблюдать закат солнца на море, когда верхний край его исчезает за горизонтом? По всей вероятности, вы видели это не раз. Но заметили ли вы дивное явление, которое совершается в мгновение, когда при совершенно безоблачном небе солнце бросает свой последний луч? Если вы этого явления не видели, то в первый раз, как вам представится случай наблюдать его - а такие случаи бывают очень редко, - вы увидите, что последний солнечный луч будет не красного цвета, как это можно было бы предположить, а ярко-зеленого. Цвет этого луча так красив, что ни один художник не может составить для него краску на своей палитре и его нельзя сравнить ни с одним из тех зеленых цветов, в которые окрашено бесконечное множество растений, а также море, как бы ни были прозрачны его воды; если есть в раю зеленый цвет, то он именно такой: истинный цвет надежды".

Жюль Верн. Зеленый луч

Могу поспорить, что каждый из нас неоднократно видел, красное небо при закате. Его характерный цвет обусловлен преломлением и рассеянием солнечного света в атмосфере Земли. Однако мало кто хоть раз видел такое удивительное зрелище — зеленый закат. Это природное событие можно наблюдать, когда линия горизонта расположена далеко, а воздух кристально чист. В большинстве случаев зеленый луч удается увидеть лишь на мгновение над водной гладью моря или океана и только иногда - в горах. Появление его в средней полосе Украины — исключительно редкое событие и возможно лишь при удачном сочетании большого числа благоприятных факторов. Автору данной фотографии удалось наблюдать и сфотографировать зеленый луч.

В основном, счастливчики, которым выпала возможность такое увидеть, — моряки. Они считают, что его появление - хорошая примета, знак удачного завершения путешествия. Люди верили, что тот, кто увидел зеленый луч — обретет свое счастье. Яркие вспышки сине-зеленого цвета, на краю Солнца, оставляют неизгладимые впечатления и воспоминания на всю жизнь.

Скептики считают зеленый луч вымыслом или оптическим обманом. Некоторые полагают, что это реакция человеческого глаза, утомленного созерцанием солнца. Именно для последних знаменитый популяризатор науки Я. И. Перельман в своей книге "Занимательная физика" не только подробно объясняет причину природного явления "зеленый луч", но и приводит факты, опровергающие различные заблуждения по этому поводу. А в наше время, когда фотографическая техника дает возможность запечатлеть многочисленные случаи появления зеленого луча, сомнения, похоже, должны оставить скептиков.

Причины возникновения этого необыкновенного зрелища легко объяснить опираясь на знания, полученные в средней школе. Известно, что солнечный свет состоит из набора электромагнитных волн, каждая из которых обладает своей частотой и длиной. Волна определенной частоты воспринимается человеческим глазом как цвет: красный, оранжевый, желтый, зеленый, голубой, синий и фиолетовый (каждый охотник желает знать, где сидит фазан). Красный цвет обладает наибольшей в данном спектре длиной волны, составляющей около 0,7-0,6 микрометра. Для зеленого и фиолетового цветов длина волны равна примерно 0,5 и 0,4 микрометра соответственно. Несмотря на такие, казалось бы, небольшие различия в длине волны, лучи разного цвета по-разному распространяются в веществе, в частности имеют различные скорости. Зависимость скорости световых волн в веществе от их длины или частоты есть проявление более общей зависимости скорости отклика вещества на частоту колебаний электрического поля в световой волне. В физике такое явление называется дисперсией. В большинстве веществ и сред, в том числе и в земной атмосфере, красный свет распространяется с большей скоростью, чем сине-зеленый. Такая зависимость, называемая нормальной дисперсией, соответствует меньшим показателям преломления для красного света, чем для сине-зеленого. Напомним, что показатель преломления - это величина, показывающая на сколько скорость света в веществе v меньше, чем в вакууме: n = c/v, где с ≈ 3.108 м/c - скорость света в вакууме.

А если вы еще и знаете закон преломления света, все вообще просто. Согласно данному закону, при наклонном падении света на границу сред с различными показателями преломления световой луч отклоняется от первоначального направления распространения, то есть преломляется. При попадании светового луча из области с меньшим значением n, например из вакуума, где n = 1, в среду с большим значением n угол преломления всегда меньше угла падения. Напомним, что оба угла отсчитываются от нормали (перпендикуляра) к границе раздела областей. Так как показатели преломления для волн разной длины различаются, то и углы преломления будут разными, а именно: красный свет будет преломляться меньше, чем зеленый. Это, в частности, служит причиной разложения белого света в спектр при его пропускании через стеклянную призму. Подобное разложение солнечного света в спектр имеет место и в атмосфере Земли. Однако наблюдается оно лишь в отдельных случаях и в особых местах. Так, при заходе или восходе солнца его лучи, видимые наблюдателем на Земле, наклонно падают из космического пространства (вакуума). Поскольку плотность атмосферы нарастает при приближении к поверхности Земли, то и показатель преломления света увеличивается. Свет, распространяясь из космоса к земной поверхности, постоянно преломляется, а значит, и разлагается в спектр, причем, как и в стеклянной призме, меньше всего преломляются лучи красного света. Хотя различие показателей преломления для красного и сине-зеленого световых лучей в атмосфере крайне мало, но на больших расстояниях (сотни километров) эффект их разделения вполне наблюдаем. Именно в этом и состоит причина появления зеленого луча. Действительно, в то время как солнце уже реально находится за линией горизонта и его красные лучи проходят выше наблюдателя, более коротковолновые зеленые лучи, отклоненные сильнее, можно увидеть. Конечно, голубые, синие и фиолетовые лучи, обладающие еще меньшей длиной волны, преломляются гораздо сильнее, но увидеть их практически невозможно: они очень сильно рассеиваются и поглощаются в земной атмосфере.

Основное препятствие для наблюдения зеленого луча - рассеяние на взвешенных частицах тумана, пыли, дыма и других земных загрязнений воздуха, а также на неоднородностях атмосферы. Кроме того, как уже упоминалось, длина пути солнечного света от точки входа в атмосферу Земли до точки наблюдения должна быть достаточно большой. Все эти условия легче всего выполняются при наблюдении заката или восхода солнца на больших водных пространствах. Увидеть зеленый луч в степи или в лесистой местности практически невозможно. Даже понимая все физические причины и естественное природное происхождение зеленого луча, трудно избавиться от сильного эмоционального воздействия. Поэтому, подобно морякам и поэтам, хочется верить, что появление этого чуда природы послужит хорошим предзнаменованием для страны и живущих в ней людей.

На сайте vtdoska.ru действует бесплатная доска объявлений. Здесь Вы сможете разместить объявления по продаже автомобилей и запчастей, объявления об оказании услуг, объявления о продаже различных CD, DVD, винила, о продаже техники. Также здесь публикуются объявления о продаже одежды и обуви для женщин, детей и мужчин, о строительстве, ремонте и отделке помещений. Все уже поданные объявления доступны для просмотра. Эта доска объявлений будет Вам полезна!

I. Введение

В истории математики рассмотренный нами период существования Алексан­дрийской школы носит название «Первой Александрийской школы». С начала нашей эры на основе работ александрийских математиков начинается бурное раз­витие идеалистической философии: снова возрождаются идеи Платона и Пифа­гора, и эта философия неоплатоников и неопифагорейцев быстро снижает научное значение работ новых представителей математической мысли. Но вес же матема­тическая мысль не замирает, а время от времени проявляется в работах отдельных математиков. Второй период, в который протекала работа Александрийской школы, носит название «Второй Александрийской школы».

II. Герон Александрийский

К числу представителей Александрийской школы в начале второго периода ее существования надо отнести Герона Александрийского , жившего, вероятно, в I в. до н. э. Герон был выдающимся греческим инженером и ученым. Он известен многими своими изобретениями, работами геодезического характера, а также ма­тематическими работами, относящимися главным образом к вопросам геометри­ческой метрики. Из его работ, имеющих значение для математики, можно отме­тить «Метрику» и «О диоптре». В «Метрике» приводятся правила и указания для точного и приближенного вычисления площадей и объемов различных фигур и тел; среди них имеется и формула для определения площади треугольника по трем его сторонам, вошедшая в математику под именем формулы Герона. Кроме того, в этой работе указываются примеры решения квадратных уравнений и приближен­ного вычисления квадратных и кубических корней. Характерной особенностью «Метрики», выделяющей ее из ряда работ других греческих геометров, предшест­вовавших Герону, служит то обстоятельство, что в ней обычно правила даются без доказательств, а лишь выясняются на отдельных примерах. Это значительно снижает достоинства работы и, несомненно, является признаком недостаточной научной подготовки её автора. Но в области практических, приложений матема­тики Герон превосходит многих своих предшественников. Лучшей иллюстрацией этого является его работа «О диоптре». В этом труде излагаются методы различ­ных ра­бот геодезического характера, причем землемерная съемка производится с помо­щью изобретенного Героном прибора диоптры. Этот прибор является прооб­разом современного теодолита. Главной его частью служила линейка с укреплен­ными на концах ёе визирами. Эта линейка вращалась по кругу, который мог зани­мать и го­ризонтальное, и вертикальное положение, что давало возможность наме­чать на­правления как в горизонтальной, так и в вертикальной плоскости. Для пра­вильно­сти установки прибора к нему присоединялись отвес и уровень. Пользуясь этим прибором и вводя фактически в употребление прямоугольные координаты, Герон мог решать на местности различные задачи: измерить расстояние между двумя точками, когда одна из них или обе недоступны наблюдателю; провести прямую, перпендикулярную к недоступной прямой линии; найти разность уровней между двумя пунктами; измерить площадь простейшей фигуры, не вступая на из­меряе­мую площадку.

Сочинения Герона давали его современникам богатый материал, практиче­ское использование которого вполне удовлетворяло вопросам строительства и земледелия, а потому эти сочинения пользовались большим успехом в продолже­ние многих столетий.

III. Никомах, Менелай

В конце I в. н. э. надо отметить появление трудов неопифагорейца Никомаха . Его работа «Введение в арифметику» является первым трудом по арифметике, из­ложенным независимо от геометрии, и потому она оказывала свое влияние на изу­чение арифметики не менее тысячи лет. Между тем эта работа не содержит в себе ничего особенно оригинального. Основной ее идеей является классификация чи­сел, причем она проводится на основах, всецело опирающихся на числовую мис­тику. В числовую классификацию Никомаха входят также и многоугольные числа по образцу пифагорейских. Наиболее интересным в «Арифметике» Никомаха яв­ляется раздел суммирования числовых рядов. Здесь мы встречаем, например, ука­зание на то, что кубические числа представляют собой суммы последовательных нечетных чисел. Так, 13 = 1; 23 = 3 + 5; 33 = 7 + 9 + 11; 43 = 13 + 15 + 17 + 19 и т. д.

Современником Никомаха надо считать астронома и геометра Менелая Алек­сандрийского , который написал трактат о сферических треугольниках, явившихся в свое время как бы фундаментом сферической геометрии. В этом же труде Мене­лая находится его знаменитая теорема, согласно которой «если какая-нибудь пря­мая линия пересекает три стороны треугольника или их продолжения, то произве­дение трех отрезков, не имеющих общих точек, равно произведению трех других отрезков».

IV. Клавдий Птолемей

Ко II в. относится деятельность Клавдия Птолемея . Оп работал главным об­разом в области астрономии, причем его астрономические наблюдения относятся ко времени между 125 и 151 г. (Как астроном Птолемей разработал геоцентриче­скую систему мира, согласно которой Земля неподвижно покоится в центре мира, а все не­бесные светила движутся вокруг нее. Эта система была опровергнута Н. Копер­ником в его гелиоцентрической системе мира, полагающей, что центром Вселен­ной является Солнце, вокруг которого обращаются Земля и другие пла­неты, при­чем все планеты вращаются вокруг своих осей.) В своих работах он не­вольно сталкивался с понятиями тригонометрического характера, а потому ему удалось внести значительный вклад и в развитие тригонометрии. В своих астро­номических работах Птолемей уже не разделял часы на дневные и ночные, как это делали египтяне, а считал их равными по своей продолжительности. Окружность он разделял на 360 градусов и каждый градус делил еще пополам. Диаметр же ок­ружности он делил на 120 градусов, полагая, таким образом, что длина окружно­сти в 3 раза больше ее диаметра; при этом каждый градус диаметра подразделял на 60 равных частей, а каждую из этих частей вновь разделял на 60 частей. В бо­лее позднее время эти подразделения градуса получили у римлян наименования partes minutae primae и partes minutae sekundae, что в переводе означает «части меньшие первые» и «части меньшие вторые». От этих латинских слов нами и за­имствованы названия для единиц измерения углов и времени - минута и секунда.

Главная работа Птолемея называлась «Великое математическое построение астрономии в XIII книгах» или сокращенно «Мэгистэ» (в пер. с греч. «величай­шая»). В историю она вошла под названием «Альмагест», которое дали ей впо­следствии арабы.

В «Альмагесте» Птолемей вычисляет величины хорд всех дуг от 0° до 180о, причем значения хорд даны для дуг через каждую 1/2°. Для выполнения этой ра­боты Птолемей вводит свою теорему, которая в истории математики носит назва­ние теоремы Птолемея и формулируется так: произведение длин диагоналей впи­санного в круг четырехугольника равно сумме произведений длин его противопо­ложных сторон. Из этой теоремы Птолемей подучил следствия, позволяющие по данному диаметру окружности и по двум хордам, стягивающим дуги  и , вы­числить хорды, стягивающие дуги  +  и  - . Пользуясь полученными соотно­шениями, а также используя уменье вычислять стороны вписанных в круг пра­вильных фигур (треугольника, квадрата, пятиугольника, шестиугольника и деся­тиугольника), Птолемей и составил свою таблицу хорд, предшественницу совре­менных таблиц синусов.

В истории математики Птолемей известен также тем, что он первый усом­нился в очевидности постулата Евклида о параллельных прямых и делал попытки доказать его справедливость, тем самым положив начало длинному ряду подоб­ных же попыток позд­нейших геометров, пока Лобачевский не показал безуспеш­ность таких доказательств, разъяснив их невозможность.

V. Папп

Последним крупным геометром Александрийских школ следует признать геометра III в. Паппа . Ему принадлежало, как полагают значительное число сочи­нении, из которых сохранилось лишь «Математическое собрание», да и то не в полном виде (из восьми книг этого сборника полностью утрачена первая и не хва­тает части второй).

«Математическое собрание» Паппа имеет для истории математики большое значение: оно содержит обзор трудов предшественников Паппа, развивает некото­рые их идеи, комментирует эти труды. Благодаря этому для нас сохранились све­дения о многих математических работах древних, которые не дошли в подлинни­ках до нашего времени. Кроме того, в работе Паппа имеются и некоторые новые и оригинальные открытия. Так как Папп не всегда называет авторов приводимых им теорем, то нам трудно судить, какие теоремы принадлежат ему самому и какие - другим авторам. Но по отношению к некоторым из них считают несомненным, что они принадлежат Паппу. Многие из этих теорем имеют значительный теоре­тический и практический интерес. Теорема Паппа об инволю­ции точек читается так: «Если на двух прямых, лежащих в одной плоскости, взять по три точки: на первой прямой точки 1, 5 и 3, а на второй-2, 4 и 6, то точки пересечения пар пря­мых 1-2 и 4-5, 2-3 и 5-6, 3-4 и 6- 1 лежат на одной прямой МN (рис. 1).

Большое применение имеет теорема, которая впоследствии была переоткрыта Паулем Гюльденом (1577-1643), а потому и носит имя последнего: объем тела, образованного вращением плоской фигуры вокруг какой-нибудь лежащей в ее плоскости прямой, равен произведению площади фигуры на длину окружности, описанной при вращении ее центром тяжести. Интересна предложенная и изучен­ная Паппом спираль, которая описывается точкой, движущейся вдоль дуги чет­верти окружности, когда эта дуга вращается около диаметра. Из других теорем, доказанных Паппом, приведем ещё такие: «Центр тяжести треугольника принад­лежит также другому треугольнику, вершины которого лежат на сторонах данного и разделяют эти стороны в одном и том же отношении»; «Прямая, соединяющая противоположные концы параллельных диаметров двух кругов, имеющих внеш­нее касание, проходит через точку касания». Паппу приписывается также решение задачи о проведении через той точки, лежащие на одной прямой, трех прямых, об­разующих треугольник, вписанный в данный круг.

VI. Диофант

К числу александрийских ученых относятся алгебраист Диофант , живший, вероятно, в III в. Жил он 84 года. Последнее сведение почерпнуто из эпиграммы некоего Метродора, помещенной в так называемой «Греческой антологии». Со­держание эпиграммы таково:

«Диофант прожил 1/6 своей жизни в детстве, 1/12 в юности, следующую за­тем 1/7 часть своей жизни был холостяком; через 6 лет после женитьбы у него ро­дился сын, который умер на 4 года ранее своего отца и дожил до возраста, вдвое меньшего, чем лета его отца».

Диофант написал сочинение, названное им «Арифметика». Это сочинение резко отличается по своему характеру от известных нам других математических работ древних греков. Главное отличие заключается в том, что изложение его идет чисто аналитическим путем, хотя и вводится иногда геометрическая терминоло­гия. «Арифметика» Диофанта включает в себя главным образом вопросы алгебры и теории чисел. Надо отметить, что Диофант не излагает обобщенных методов для решения тех или иных вопросов, а к решению каждого отдельного вопроса подхо­дит с особым методом. Это выявляет огромные математические способности Диофанта, но сильно снижает научную ценность его труда- Из 13 книг «Арифме­тики» до нашего времени сохранилось только 6. В них Диофант рассматривает решение уравнений 1-й и 2-й степени, причем ос­новное внимание обращает на не­определенные уравнения.

лгебра Диофанта должна быть отнесена к так называемому периоду «син­копированной алгебры», то есть к тому времени, ко­гда в алгебр переходили от чисто риторического изложения (то есть словесного) к использованию более крат­ких записей при помощи сокращенных слов и некоторых символов. Так, для изо­бражения неизвестного числа Диофант вводит обозначение S", а когда это неиз­вестное употребляется во множественном числе, то упомяну­тое обозначение уд­ваивается. Для каждой степени неизвестного вводились соответствующие синко­пированные обозначения. Для обозначения вычитания употребляется знак, а для ра­вен­ства - буква I. Уменьшаемое писалось раньше вычитаемого, а чи­сло­вые коэффициенты - после неизвестных. Непосредственное следование одной записи за другой означало действие сложения.

Отрицательные числа Диофанту известны не были, но когда приходилось ум­ножать разность двух чисел на разность двух других чисел, то Диофант пользо­вался, правилом: «отнимаемое число, будучи умножено на отнимаемое, дает при­бавляемое, а, будучи умножено на прибавляемое, дает отнимаемое».

При решении уравнений Диофант признавал только положительные ра­цио­нальные ответы, и притом для квадратного уравнения он всегда вычислял только один ответ, если уравнение имело два рациональных и положитель­ных корня. Ка­ким методом он решал квадратные уравнения, неизвестно, так как в сохранив­шихся до нашего времени книгах этого объяснения не дано. Для решения уравне­ния 1-й степени Диофант прибегал к приемам, описанным им следующим обра­зом: «Если теперь в какой-нибудь задаче те же степени неизвестного встречаются в обеих частях уравнения, но с разными коэффициентами, то мы должны вычитать равные из равных, пока не получим одного члена, равного одному числу. Если в одной или в обеих частях есть члены вычитаемые, то эти члены должны быть прибавлены к обеим частям так, чтобы в обеих частях были только прибавляемые. Затем снова нужно отнимать равные от равных, пока не останется только по од­ному члену с каждой стороны». Таким путем Диофант достигал того, чего мы до­биваемся перенесением известных членов в одну сторону равенства, а неизвест­ных - в другую, приведением подобных членов и делением на коэффициент при неизвестном. При этом надо отметить, что Диофант, как и все древние матема­тики, избегал действия деления, заменяя его повторным вычитанием.

VII. Теон и Гипатия

Учеными, завершившими цикл математиков Александрийской школы, были Теон (IV в.) и его дочь Гипатия (370-415).

Теон проделал большую работу, комментируя труды Евклида и Птолемея. Что же касается Гипатии, то, по отзывам историков, она обладала большими зна­ниями в области математики и философии и комментировала труды Архимеда. Диофанта и Аполлония. Она является первой известной в истории математики женщиной-математиком. Ей принадлежат также философские труды по толкова­нию Платона, Аристотеля я других греческих философов. До нашего времени не сохранилось ни одного из трудов Гипатии. Высокая ученость и красноречие, кото­рыми обладала Гипатия, ее деятельное участие в общественных делах города соз­дали ей популярность в Александрии, но вместе с тем вызвали ненависть со сто­роны христианских религиозных фанатиков к ученой «язычнице». В 415 г. она по подстрекательству епископа Кирилла была растерзана толпой христианских изу­веров. Последователи и ученики Гипатии, которым удалось спастись от преследо­вания, бежали в Афины.

VIII. Упадок Александрийской школы

Папп и Диофант явились последними представителями александрийских ма­тематиков, внесших в математику новые идеи. В дальнейшем значение александ­рийских ученых снижается все более и более. Это объясняется как внутренними, так и внешними условиями работы в Александрийской школе. Государственный строй, в условиях которого развивались науки в Афинских и Александрийских школах, строй, основанный на рабском труде, не мог способствовать дальнейшему росту научных знаний. В первые годы существования Александрийской школы Птолемея были созданы весьма благоприятные условия для научной работы, так как это было выгодно для правящих классов: надо было создать сильное и богатое государство, приносящее и личную выгоду Птолемеям.

Развитие техники воен­ного дела, астрономии, географии, торгового дела и промышленности требовало и быстрого развития математики, а потому математика и имела все данные для сво­его роста и вширь и вглубь. Но когда материальные потребности правящих клас­сов были удовлетворены достигнутыми успехами наук, то не стало и стимула для поощрения дальнейшего роста научных знаний. Таковы внутренние условия, вы­звавшие упадок математических наук в Александрии. Но, кроме них, существо­вали и условия внешнего характера. Уже задолго до начала нашей эры стало все более сказываться притязание Рима на овладение территорией, на которой была расположена Александрия. В 47 г. до н. э., во время войны ЮлияЦезаря против Александрии, была сожжена ее замечательная библиотека. Затем она была восстановлена; но когда Рим окончательно овладел Александрией, началась жестокая вражда между христианами и язычниками. Религиозная рознь отозвалась и на науке, так как, во-первых, в науку стала проникать христианская мистика (что отозвалось, например, на творениях Никомаха), а, во-вторых, христианские фана­тики стали преследовать все языческое, в том числе и «языческую» науку. По приказанию патриарха Теофила в 391 г. в Александрии был разрушен храм бога Сераписа, а вместе с храмом погибла и библиотека. Дни Александрийской школы были сочтены.

Таков был конец Александрийской математической школы.

Последний кратковременный расцвет математических наук в Греции отмеча­ется в V - VI вв. в Афинах. Афинская школа этой эпохи работала главным образом над толкованием работ математиков прежних веков: Евклида, Архимеда и др. Но и эта школа в 529 г. была закрыта по распоряжению императора Юстиниана как «языческая мерзость».

IX. Заключение

Из приведенного выше очерка развития математических знаний в Древней Греции можно видеть, что за более чем полуторатысячелетний период времени математическая наука в Греции имела значительные достижения. Это относится главным образом к элементарной геометрии, которая в трудах Фалеса, Пифагора, Платона и в особенности Евдокса, Евклида и Архимеда приобрела то содержание, которое сохраняется и в настоящее время. В этой области греческие математики сумели построить вполне научную основу и дали строго дидактическое изложение теории. От греков мы получили и основы всей геометрической терминологии. Что жекасается других разделов математики (арифметики, алгебры и тригонометрии), то в них были заложены некоторые основы науки, но полного развития эти раз­делы у греков не получили. Как мы видели ранее, греки в своих арифметических иссле­дованиях отрывались от практического счета, строго отделяя арифметику от логи­стики, и это в значительной мере тормозило развитие арифметики, так как никакая наука не может развиваться в отрыве от практики. Развитию алгебры пре­пятство­вало то, что еще недостаточно вошли в употребление символические за­писи, на­мек на которые мы впервые встречаем в трудах Диофанта, пользовавше­гося лишь отдельными символами и сокращениями записи. Свое значение алгебра приобрела много позднее, когда в связи с развитием символики смогла помочь и практиче­ским расчетам, и научным обобщениям. По отношению к тригономет­рии мы мо­жем сказать, что в Греции тригонометрия не получила самостоятель­ного значения, а являлась лишь вспомогательным вычислительным аппаратом для астрономиче­ских наблюдений.

Однако если рассматривать развитие в Древней Греции элементарной мате­матики в целом, то мы должны признать, что обя­заны грекам очень большими достижениями на этом пути.

X. Список используемой литературы

Рыбников К. А. История математики: Учебник. – М.: Изд-во МГУ, 1994. – 496 с.

Выгодский М. Я. Арифметика и алгебра в древнем мире. М.: Наука, 1967

Стройк Д. Краткий очерк истории математики. М.; Л.: Наука, 1990

Колмогоров А. Н. Математика // БСЭ. 2-е изд. Т. 26, 464 - 483

Гай Юлий Цезарь родился в 100 году до н. э. (или, по мнению некоторых исследователей, в 104 году до н. э.). Он происходил из старинного аристократического рода Юлиев, который возводил свое начало к легендарным прародителям римлян. Однако по своим родственным связям он был близок к видным деятелям так называемой партии популяров. Его тетка была женой знаменитого Мария, а его первая жена - дочерью другого видного вождя популяров - Цинны. Из-за своей жены Цезарь впал в немилость у всесильного диктатора Суллы, так как ответил отказом на требование развестись с нею. В связи с этим Цезарю пришлось даже уехать из Рима, куда он снова вернулся только после смерти Суллы.
С этого времени он начинает принимать участие в политической жизни. Сначала Цезарь держится чрезвычайно осторожно, избегая участия в наиболее острых политических конфликтах этих лет (например, попытка переворота, задуманного консулом Лепидом), и стремится лишь завоевать популярность среди широких слоев римского населения. На это он не жалеет ни сил, ни средств, тратя огромные суммы на раздачи хлеба, денег, устройство игр и зрелищ. В 68 году Цезарь впервые решается на смелую политическую демонстрацию: он использует похороны своей тетки, а затем и собственной жены для того, чтобы в похоронных процессиях открыто пронести изображения Мария и Цинны, и в надгробном слове воздает хвалу этим вождям разгромленной при Сулле партии популяров. И сторонники, и противники Цезаря расценили эту демонстрацию одинаково как заявку молодого политического деятеля на то, чтобы восстановить и возглавить демократическую партию.
В 65 году Цезарь избирается эдилом {Эдил - должностное лицо в римской республике, ведавшее городским благоустройством, а также организацией общественных игр.}. Он ознаменовал свой эдилитет организацией пышных зрелищ (однажды он вывел на арену 320 пар гладиаторов в серебряных доспехах), а также тем, что восстановил в Капитолии статую и трофеи Мария, убранные в свое время по распоряжению Суллы. В 64 году он привлекает к суду двух видных сулланцев, обвиняя их в убийстве граждан, занесенных при Сулле в так называемые проскрипционные списки и тем самым объявленных вне закона.
В 63 году был раскрыт заговор Катилины. Остановимся несколько подробнее на фактической стороне событий. Дать общую оценку движения не легко, хотя мы располагаем по этому вопросу сравнительно большим количеством источников (речи Цицерона, специальная монография римского историка Саллюстия и т, д.), но все они исходят из враждебного Катилине лагеря и дают крайне пристрастное освещение событий.
Луций Сергий Катилина, обедневший римский аристократ, после неудачных попыток добиться консульской должности начал подготовлять государственный переворот. Он выдвинул лозунг отмены долгов, который привлек к нему сторонников из различных слоев римского общества - и разорившихся аристократов и часть городского плебса. О готовящемся заговоре узнал через свою агентуру консул Цицерон. Он выступил с рядом речей против Катилины, требуя его изгнания. Так как большинство сенаторов поддержало Цицерона, Катилине пришлось бежать в Этрурию, где он набрал из разорившихся сулланских ветеранов войско для похода на Рим. Оставшиеся в Риме сторонники Катилины подготовили новый план переворота (в частности, замышлялось убийство Цицерона) и вступили в переговоры с послами одного из галльских племен, находившимися в это время в Риме, Однако галльские послы, несмотря на то, что заговорщики обещали им крупное вознаграждение, предпочли выдать их Цицерону. Руководители заговора были арестованы и после бурного обсуждения вопроса в сенате приговорены к смертной казни. На следующем заседании сенат преподнес Цицерону почетный титул "отца отечества". Еще через несколько недель наспех собранное Катилиной войско было разбито на севере Италии; сам Катилина пал в этом бою. Заговор был подавлен.
Позиция Цезаря во время всех этих событий неясна. Его считали замешанным в заговоре. Во всяком случае, его политические противники, например Катон, один из видных представителей сенатских кругов, довольно недвусмысленно намекал на это в своей речи в сенате. Но Цицерон проявил в данном случае крайнюю осторожность, и Цезарю не было предъявлено никаких обвинений. Более того, в том же 63 году Цезарь был избран верховным жрецом, а на 62 год - городским претором {Городской претор - должностное лицо в римской республике, ведавшее гражданским судопроизводством.}. По окончании претуры он получил в управление провинцию Испанию, но долги его были столь огромны, что кредиторы не желали выпускать его из Рима и только денежная помощь и поручительство крупнейшего римского богача Красса помогли уладить дело.
Можно считать, что к этому времени Цезарь уже прошел несколько начальных ступеней по лестнице своей карьеры: он стал заметной, хотя далеко еще не первостепенной, фигурой, он считался вождем "демократической" партии, хотя эта "партия" не представляла собой ничего целостного, единого и организованного, он - и это, пожалуй, главное - пользовался безусловной поддержкой всех тех, кто был настроен против стоявшего, как всегда, на самых консервативных позициях сената. Цезарю, кроме того, удалось завязать к этому времени важные политические связи: искусно лавируя между двумя наиболее видными, но враждовавшими между собой политическими деятелями - Помпеем и Крассом, - он сумел сохранить близость и к тому, и к другому.
В самом конце 62 года Рим был взволнован новым событием. Закончив с блестящим успехом восточные походы, на юге Италии высадился со своей победоносной армией Помпей. Сенат трепетал, считая, что он, по примеру Суллы, направит армию на Рим. Но, вопреки всем ожиданиям, Помпей демонстративно распустил свои войска и с небольшой свитой остановился под Римом, ожидая разрешения сената на триумфальный въезд. Воспрянувший сенат охотно разрешил Помпею триумф, но зато решительно отказал в утверждении сделанных им распоряжений на Востоке и в награждении его солдат землей. Тем самым "дальновидные" сенаторы фактически отбрасывали Помпея в лагерь своих врагов.
В 60 году вернулся из Испании Цезарь. Управление провинцией дало ему возможность поправить свои финансовые дела, кроме того, он одержал ряд побед над лузитанскими племенами. В связи с этим он мог претендовать на триумф, но приближались консульские выборы и Цезарь оказался перед дилеммой: либо, не въезжая в город и не имея права (заочно) выдвинуть свою кандидатуру, ожидать разрешения на триумф, либо, отказавшись от него, появиться в Риме и принять участие в выборах. Цезарь избрал второй вариант.
Есть все основания предполагать, что именно в это время Цезарь осуществил один из самых удачных шагов за всю свою политическую карьеру, одну из таких политических акций, все последствия которой он едва ли в то время даже мог предвидеть. Добившись примирения между Помпеем и Крассом, он организовал негласный тройственный союз (так называемый первый триумвират), огромное политическое значение которого в самом недалеком будущем было оценено современниками по достоинству: тройственный союз был назван "трехглавым чудовищем".
Первое совместное предприятие триумвиров заключалось в соответствующей подготовке консульских выборов. Каждый член тройственного союза пустил в ход как свое личное влияние, так и свои денежные средства. Результат не заставил себя ждать - Цезарь был избран консулом в 59 году.
Консульство было для Цезаря лишь трамплином, при помощи которого он мог достичь новой и более существенной цели: получения в управление провинции, что давало право на набор войска, а, следовательно, сулило в перспективе победы, славу, богатство, власть. На основании опыта Помпея и Катилины Цезарь в это время, несомненно, уже понял, что решающим козырем в дальнейшей игре может быть только сильная и преданная своему вождю армия.
Цезарь получил в управление (сначала на 5 лет, затем срок был удвоен) провинцию Галлию. Часть этой провинции была покорена, но огромную территорию (от Пиренеев до Рейна) предстояло еще завоевать. Именно к этому и стремился Цезарь.
В общей сложности он провел в Галлии около восьми лет. Когда завоевание провинции было завершено, в стране вспыхнуло общее восстание. Борьба затянулась еще на несколько лет, и только к концу 51 года галлы вынуждены были покориться. Покорение Галлии необычайно подняло личный авторитет и популярность Цезаря - по подсчетам древних историков, он за время войны взял более 800 городов, покорил 300 племен, захватил в плен миллион человек и огромную военную добычу. Добыча римлян была так велика, что золото в самом Риме сильно упало в цене и продавалось на вес.
За время пребывания Цезаря в Галлии существенно изменилась политическая обстановка. Триумвират фактически распался: Красс погиб на Востоке, ведя войну с парфянами, Помпей, завидовавший успехам Цезаря и его огромной популярности, все больше сближался с сенатом. В Риме царила анархия - консулы не избирались, предвыборные собрания нередко переходили в вооруженные стычки. В этих условиях сенат принял решение о вручении чрезвычайных полномочий Помпею. Он был избран на 52 год единственным консулом (в Риме всегда избиралось два консула), что по существу являлось смягченной формой диктатуры.
Цезарь оказался в затруднительном положении. Он стоял со своим войском на границе Италии и должен был, в соответствии с существующими законами, распустить армию и явиться в Рим как частное лицо. Однако, памятуя опыт Помпея, Цезарь был мало склонен к подобному шагу. Он требовал от сената определенных гарантий. Но наиболее враждебно настроенные к Цезарю сенаторы и под их давлением сам Помпей заняли непримиримую позицию.
7 января 49 года сенат поручил Помпею провести набор войск, а Цезарю было направлено ультимативное требование сложить полномочия, в противном случае он объявлялся врагом народа.
10 января 49 года Цезарь с одним легионом и вспомогательными войсками переходит пограничную речку Рубикон. Гражданская война началась.
Не встречая на пути никакого сопротивления, Цезарь быстро двигается к Риму. Помпей, который в Италии еще не располагал достаточными силами, бежит на Балканский полуостров (с ним переправилась в Грецию и большая часть сенаторов). Цезарь вступает в Рим. Вместо ожидаемых казней и проскрипций он выдвигает лозунг милосердия - пленники получили свободу, с оставшимися в Риме сенаторами он обошелся чрезвычайно милостиво.
Но гражданская война по существу только начиналась. Борьба сначала с Помпеем, а затем с помпеянцами затянулась до 45 года.
8 ходе этой борьбы Цезарь разбивает армию Помпея на Балканском полуострове (битва при Фарсале, 48 год до н. э.), затем отправляется в Египет, где он вмешивается во внутреннюю, династическую борьбу, поддерживая египетскую царицу Клеопатру против ее брата и соперника Птолемея Диониса. Из Египта он совершил поход в Понтийское царство, где сын старого врага Рима Митридата VI - Фарнак начал военные действия и захватил Вифинию. Кампания против Фарнака продолжалась всего 5 дней, и Цезарь послал о ней в Рим свое знаменитое донесение: "Пришел, увидел, победил" .
В 47 году Цезарь разгромил основные силы помпеянцев в Африке (битва при Тапсе, 45 год до н. э.). Идейный вождь помпеянцев, старый враг Цезаря - Катон покончил жизнь самоубийством. Однако сыновья Помпея бежали в Испанию, где им удалось снова собрать крупные силы. Цезарь с отборными легионами отправляется в Испанию, и в 45 году около г. Мунда происходит последнее сражение. Цезарь и на сей раз добился победы, но не легкой ценой. "Я часто сражался за победу, сегодня же впервые сражался за жизнь", - сказал он после этой битвы. Но последние остатки помпеянцев были разгромлены и единовластие Цезаря никем более не оспаривалось.
Однако это единовластие после окончания гражданской войны продолжалось всего лишь год. Вернувшись в Рим в сентябре 45 г. Цезарь приступил к проведению ряда внутренних реформ.
Во время триумфов Цезаря (в 46 и 45 годах) раздавались щедрые награды и подарки не только военачальникам и солдатам, но и всем гражданам. Помимо хлебных и денежных раздач, Цезарь, со свойственным ему размахом, организовал грандиозные зрелища, игры, массовые угощения. Но этим и исчерпывается "демократизм" его мероприятий. Вместе с тем Цезарь провел ограничение контингента граждан, получавших даровой хлеб, снизив его с 320 тысяч до 150 тысяч человек. Специальным эдиктом были распущены так называемые коллегии, бывшие средоточием городского плебса и очагами демократической агитации. Число сенаторов было увеличено до 900. Выборы должностных лиц происходили по-прежнему в народном собрании, но Цезарь получил теперь право "рекомендовать" половину всех кандидатур.
Нетрудно убедиться в том, что все эти реформы имели антидемократический характер. Налицо - принципиальное изменение внутриполитической линии Цезаря. Он выступает уже не как вождь популяров и продолжатель их политики, но как единовластный правитель, озабоченный в первую очередь созданием сильной централизованной власти. В этом смысле Цезарь выступает как основатель новой политической и государственной формы, а именно римской империи.
Власть Цезаря носила по существу монархический характер, когда внешне это выглядело как сохранение республиканских должностей, лишь сосредоточенных в одних руках. Цезарь был назначен диктатором (с 44 года пожизненно), он имел пожизненную трибунскую власть. С 63 года он был верховным жрецом. Цезарь неоднократно избирался консулом, имел почетный титул "отца отечества", и, наконец, существовавший и при республике военный титул императора впервые приобретает при нем особое значение.
Но Цезарь, по-видимому, уже стремился к большему. Его не удовлетворяло фактическое положение монарха, он мечтал о царском венце. В начале 44 года на одном из праздников перед огромной толпой народа его ближайший друг и соратник Марк Антоний пытался возложить на него царскую диадему. Вероятно, это был совместно обдуманный шаг, некий "пробный шар". Чутко наблюдая за реакцией толпы, Цезарь резко отклонил попытку Марка Антония и был награжден громом аплодисментов. Как ни странно, положение Цезаря в это время нельзя назвать вполне устойчивым. Напуганные его монархическими тенденциями сенаторы, как правило, ему не доверяли, "всадники" были недовольны его провинциальной политикой (ограничения откупной системы), городской плебс уже не чувствовал в нем своего вождя и заступника. Не мог Цезарь опереться и на армию, хотя бы по той простой причине, что она была распущена, то есть перестала существовать в качестве организованной и сплоченной корпорации. Таким образом, на вершине своей славы и могущества Цезарь оказался в состоянии некоей изоляции.
В среде сенаторов составился заговор против Цезаря. В нем приняло участие около 60 человек. Среди заговорщиков можно было найти и бывших помпеянцев, обласканных Цезарем, и недавних цезарианцев, которые изменили свое отношение к Цезарю в связи с его монархическими замашками. Во главе заговора стояли Гай Кассий Лонгин и Марк Юний Брут (последний был лично близок к Цезарю, а по слухам, даже был его сыном). Когда стало известно, что в связи с подготовкой нового похода против парфян (на Балканском полуострове уже концентрировались крупные силы) найдено древнее предсказание, гласящее, что победить парфян может только царь, это укрепило решимость заговорщиков и ускорило срок реализации заговора.
15 марта 44 года на заседании сената Цезарь был окружен толпой заговорщиков, которые по условному знаку ринулись на него с обнаженными кинжалами. Ему были нанесены 23 раны; из них только одна оказалась смертельной. После убийства заговорщики и остальные сенаторы в страхе разбежались. Труп всесильного диктатора долго лежал всеми оставленный, пока трое рабов не положили его на носилки и не отнесли домой.

Цезарь как историческая личность неоднократно привлекал внимание историков. Наполеон III, написавший трехтомную историю Цезаря, немецкий историк Друман, знаменитый историк Теодор Моммзен считали Цезаря гениальным деятелем. Особенно характерна точка зрения Моммзена. Для него Цезарь - великая и многогранная личность, но более всего он велик и гениален как государственный деятель. Он идеал "демократического монарха" и в этом смысле является образцом, эталоном для государственных деятелей всех времен и народов.
Цезарь, несомненно, крупный исторический деятель. Но он в полном смысле слова человек своей эпохи и своего класса. Многолетний опыт политической борьбы и интриг подсказывал ему определенное направление его практической деятельности, он видел внутреннюю слабость республиканского государственного устройства, он понимал значение армии как крупной социально-политической силы. Но это говорит лишь о том, что его практическая деятельность объективно совпала с требованиями эпохи и с классовыми интересами определенных слоев римского рабовладельческого общества. Если мы и считаем Цезаря основателем римской империи, то только в этом смысле, и мы, конечно, менее всего склонны приписывать его личности и деятельности то особое, "провиденциальное" значение, которое, по мнению ряда буржуазных историков, ставит его над классами и партиями и делает его образцом "демократического диктатора".