Простые и составные числа — Гипермаркет знаний. Простые и составные числа, свойства простых чисел
В статье рассматриваются понятия простых и составных чисел. Даются определения таких чисел с примерами. Приводим доказательство того, что количество простых чисел неограниченно и произведем запись в таблицу простых чисел при помощи метода Эратосфена. Будут приведены доказательства того, является ли число простым или составным.
Yandex.RTB R-A-339285-1
Простые и составные числа – определения и примеры
Простые и составные числа относят к целым положительным. Они обязательно должны быть больше единицы. Делители также подразделяют на простые и составные. Чтобы понимать понятие составных чисел, необходимо предварительно изучить понятия делителей и кратных.
Определение 1
Простыми числами называют целые числа, которые больше единицы и имеют два положительных делителя, то есть себя и 1 .
Определение 2
Составными числами называют целые числа, которые больше единицы и имеют хотя бы три положительных делителя.
Единица не является ни простым ни составным числом. Она имеет только один положительный делитель, поэтому отличается от всех других положительных чисел. Все целые положительные числа называют натуральными, то есть используемые при счете.
Определение 3
Простые числа – это натуральные числа, имеющие только два положительных делителя.
Определение 4
Составное число – это натуральное число, имеющее более двух положительных делителей.
Любое число, которое больше 1 является либо простым, либо составным. Из свойства делимости имеем, что 1 и число а всегда будут делителями для любого числа а, то есть оно будет делиться само на себя и на 1 . Дадим определение целых чисел.
Определение 5
Натуральные числа, которые не являются простыми, называют составными.
Простые числа: 2 , 3 , 11 , 17 , 131 , 523 . Они делятся только сами на себя и на 1 . Составные числа: 6 , 63 , 121 , 6697 . То есть число 6 можно разложить на 2 и 3 , а 63 на 1 , 3 , 7 , 9 , 21 , 63 , а 121 на 11 , 11 , то есть его делители будут 1 , 11 , 121 . Число 6697 разложится на 37 и 181 . Заметим, что понятия простых чисел и взаимно простых чисел – разные понятия.
Для того, чтобы было проще использовать простые числа, необходимо использовать таблицу:
Таблица для всех существующих натуральных чисел нереальна, так как их существует бесконечное множество. Когда числа достигают размеров 10000 или 1000000000 , тогда следует задуматься об использовании решета Эратосфена.
Рассмотрим теорему, которая объясняет последнее утверждение.
Теорема 1
Наименьший положительный и отличный от 1 делитель натурального числа, большего единицы, является простым числом.
Доказательство 1
Возьмем, что а является натуральным числом, которое больше 1 , b является наименьшим отличным от единицы делителем для числа а. Следует доказать, что b является простым числом при помощи метода противного.
Допустим, что b – составное число. Отсюда имеем, что есть делитель для b , который отличен от 1 как и от b . Такой делитель обозначается как b 1 . Необходимо, чтобы условие 1 < b 1 < b было выполнено.
Из условия видно, что а делится на b , b делится на b 1 , значит, понятие делимости выражается таким образом: a = b · q и b = b 1 · q 1 , откуда a = b 1 · (q 1 · q) , где q и q 1 являются целыми числами. По правилу умножения целых чисел имеем, что произведение целых чисел – целое число с равенством вида a = b 1 · (q 1 · q) . Видно, что b 1 – это делитель для числа а. Неравенство 1 < b 1 < b не соответствует, потому как получим, что b является наименьшим положительным и отличным от 1 делителем а.
Теорема 2
Простых чисел бесконечно много.
Доказательство 2
Предположительно возьмем конечное количество натуральных чисел n и обозначим как p 1 , p 2 , … , p n . Рассмотрим вариант нахождения простого числа, отличного от указанных.
Примем на рассмотрение число р, которое равняется p 1 , p 2 , … , p n + 1 . Оно не равняется каждому из чисел, соответствующих простым числам вида p 1 , p 2 , … , p n . Число р является простым. Тогда считается, что теорема доказана. Если оно составное, тогда нужно принять обозначение p n + 1 и показать несовпадение делителя ни с одним из p 1 , p 2 , … , p n .
Если это было бы не так, тогда, исходя из свойства делимости произведения p 1 , p 2 , … , p n , получим, что оно делилось бы на p n + 1 . Заметим, что на выражение p n + 1 делится число р равняется сумме p 1 , p 2 , … , p n + 1 . Получим, что на выражение p n + 1 должно делиться второе слагаемое этой суммы, которое равняется 1 , но это невозможно.
Видно, что может быть найдено любое простое число среди любого количества заданных простых чисел. Отсюда следует, что простых чисел бесконечно много.
Так как простых чисел очень много, то таблицы ограничивают числами 100 , 1000 , 10000 и так далее.
При составлении таблицы простых чисел следует учитывать то, что для такой задачи необходима последовательная проверка чисел, начиная с 2 до 100 . При отсутствии делителя оно фиксируется в таблицу, если оно составное, то в таблицу не заносится.
Рассмотрим пошагово.
Если начать с числа 2 , то оно имеет только 2 делителя: 2 и 1, значит, его можно занести в таблицу. Также и с числом 3 . Число 4 является составным, следует разложить его еще на 2 и 2 . Число 5 является простым, значит, можно зафиксировать в таблице. Так выполнять вплоть до числа 100 .
Данный способ неудобный и долгий. Таблицу составить можно, но придется потратить большое количество времени. Необходимо использовать признаки делимости, которые ускорят процесс нахождения делителей.
Способ при помощи решета Эратосфена считают самым удобным. Рассмотрим на примере таблиц, приведенных ниже. Для начала записываются числа 2 , 3 , 4 , … , 50 .
Теперь необходимо зачеркнуть все числа, которые кратны 2 . Произвести последовательное зачеркивание. Получим таблицу вида:
Переходим к вычеркиванию чисел, кратных 5 . Получим:
Вычеркиваем числа, кратные 7 , 11 . В конечном итоге таблица получает вид
Перейдем к формулировке теоремы.
Теорема 3
Наименьший положительный и отличный от 1 делитель основного числа а не превосходит a , где a является арифметическим корнем заданного числа.
Доказательство 3
Необходимо обозначить b наименьший делитель составного числа а. Существует такое целое число q , где a = b · q , причем имеем, что b ≤ q . Недопустимо неравенство вида b > q , так как происходит нарушение условия. Обе части неравенства b ≤ q следует умножить на любое положительное число b , не равное 1 . Получаем, что b · b ≤ b · q , где b 2 ≤ a и b ≤ a .
Из доказанной теоремы видно, что вычеркивание чисел в таблице приводит к тому, что необходимо начинать с числа, которое равняется b 2 и удовлетворяет неравенству b 2 ≤ a . То есть, если вычеркнуть числа, кратные 2 , то процесс начинается с 4 , а кратных 3 – с 9 и так далее до 100 .
Составление такой таблицы при помощи теоремы Эратосфена говорит о том, что при вычеркивании всех составных чисел, останутся простые, которые не превосходят n . В примере, где n = 50 , у нас имеется, что n = 50 . Отсюда и получаем, что решето Эратосфена отсеивает все составные числа, которые по значению не больше значения корня из 50 . Поиск чисел производится при помощи вычеркивания.
Перед решением необходимо выяснять, является ли число простым или составным. Зачастую используются признаки делимости. Рассмотрим это на ниже приведенных примере.
Пример 1
Доказать что число 898989898989898989 является составным.
Решение
Сумма цифр заданного числа равняется 9 · 8 + 9 · 9 = 9 · 17 . Значит, число 9 · 17 делится на 9 , исходя из признака делимости на 9 . Отсюда следует, что оно составное.
Такие признаки не способны доказать простоту числа. Если нужна проверка, следует производить другие действия. Самый подходящий способ – это перебор чисел. В течение процесса можно найти простые и составные числа. То есть числа по значению не должны превосходить a . То есть число а необходимо разложить на простые множители. если это будет выполнено, тогда число а можно считать простым.
Пример 2
Определить составное или простое число 11723 .
Решение
Теперь необходимо найти все делители для числа 11723 . Необходимо оценить 11723 .
Отсюда видим, что 11723 < 200 , то 200 2 = 40 000 , а 11 723 < 40 000 . Получаем, что делители для 11 723 меньше числа 200 .
Для более точной оценки числа 11723 необходимо записать выражение 108 2 = 11 664 , а 109 2 = 11 881 , то 108 2 < 11 723 < 109 2 . Отсюда следует, что 11723 < 109 . Видно, что любое число, которое меньше 109 считается делителем для заданного числа.
При разложении получим, что 2 , 3 , 5 , 7 , 11 , 13 , 17 , 19 , 23 , 29 , 31 , 37 , 41 , 43 , 47 , 53 , 59 , 61 , 67 , 71 , 73 , 79 , 83 , 89 , 97 , 101 , 103 , 107 – это все простые числа. Весь данный процесс можно изобразить как деление столбиком. То есть разделить 11723 на 19 . Число 19 является одним из его множителей, так как получим деление без остатка. Изобразим деление столбиком:
Отсюда следует, что 11723 является составным числом, потому как кроме себя и 1 имеет делитель 19 .
Ответ: 11723 является составным числом.
Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter
>>Математика:Простые и составные числа
4. Простые и составные числа
Число 7 делится только на 1 и само на себя. Другими словами, число 7 имеет только два делителя: 1 и 7. У числа 9 три делителя: 1, 3 и 9. Число 18 имеет шесть делителей: 1, 2, 3, 6, 9 и 18.
Такие числа, как 9 и 18, называют составными числами, а такие, как 7, - простыми числами.
Натуральное число называют простым, если оно имеет только два делителя: единицу и само это число. Натуральное число называют составным, если оно имеет более двух делителей.
Число 1 имеет только один делитель: само это число. Поэтому его не относят ни к составным, ни к простым числам.
Первыми десятью простыми числами являются 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17,19, 23, 29. На форзаце учебника приведена таблица простых чисел от 2 до 997.
Число 78 составное, потому что, кроме 1 и 78, оно делится, например, еще на 2. Так как 78:2 = 39, то 78=2*39. Говорят, что число 78 разложено на множители 2 и 39. Любое составное число можно разложить на два множителя, каждый из которых больше 1. Простое число так разложить на множители нельзя.
? Какие натуральные числа называют простыми? Какие натуральные числа называют составными? Почему число 1 не является ни простым, ни составным?
К 88. Сколько делителей имеет каждое из чисел: 31,26,100?
89. С помощью таблицы простых чисел, помещенной на форзаце учебника , определите, какие из чисел 101, 121, 253, 409, 561, 563, 863, 997 являются простыми, а какие составными.
90. Докажите, что числа 2968, 3600, 888 888, 676 767 являются составными.
91. Может ли произведение двух простых чисел быть:
а) простым числом;
б) составным числом?
92. Может ли площадь квадрата выражаться простым числом, если длина его стороны выражается натуральным числом?
93. Известно, что число m делится на 9. Простым или составным является число m?
94. Разложите на два множителя числа: 38; 77; 145; 159.
95. Сколькими способами можно разложить на два множителя числа 18; 42; 55? Способы, при которых произведения отличаются только порядком
множителей, считайте за один способ.
96. Верно ли, что все четные числа являются составными?
97. Может ли выражаться простым числом объем куба, длина ребра которого выражается натуральным числом?
П
98. Вычислите устно:
а) 0,014-1,1+0,09; 8,1 + 2,99 + 1,01; 1,88+3,7+0,12; 2,8 + 1,85 + 2,15; 1,07 + 0,88+1,93;
б) 15 - 2,3; 0,3-0,29; 7-0,2; 6-2,75; 16,4-4;
в) 2,5-2,7-4; 3,9-0,5-2; 1,25-1,9-8; 4-5,6-0,25; 0,5-30-0,1;
г) 1:10; 8,08:8; 9:100; 6,73:10; 0,7:0,01.
99. Найдите пропущенные числа, если а = 33; 42; 75:
100. Выразите в процентах числа: 0,01; 0,29; 0,8; 1.
101. Выразите в виде десятичных дробей: 2%, 5%, 10%, 20%, 50%, 68%, 100%, 130%.
102. Длина и ширина прямоугольного параллелепипеда выражаются натуральным числом сантиметров, а высота равна 15 см. Можно ли утверждать, что объем (в кубических сантиметрах) этого параллелепипеда выражается числом:
а) кратным 2; б) кратным 3; в) кратным 5?
103. Какую цифру нужно приписать к числу 10 слева и справа, чтобы получилось четырехзначное число , делящееся: а) на 9; б) на 3; в) на 6?
104. Выпишите из чисел 215 783, 3 289 775, 21 112 221, 44 856, 555 444, 757 575, 835 743 те, которые:
а) кратны 3; в) делятся без остатка на 3 и на 5;
б) кратны 9; г) кратны 9 и 2.
105. Верно ли, что если число оканчивается цифрой 6, то оно делится на 6? Верно ли, что если число делится на 6, то его запись оканчивается цифрой 6?
106. Какие цифры можно поставить вместо звездочки, чтобы число делилось без остатка на 3 и на 5:
а) 241*; б) 1734*; в) 43*5?
107. Стакан вмещает 210 г крупы. Крупой наполнили стакана. Сколько граммов крупы насыпали в стакан?
М 108. Дочь пообещала: «Я схожу в булочную и вымою посуду». Можно ли обещание считать выполненным, если дочь:
а) вымыла посуду, но не сходила в булочную;
б) сходила в булочную и не вымыла посуду;
в) и вымыла посуду, и сходила в булочную;
в) не вымыла посуду и не была в булочной?
Подумайте, в чем сходство этой задачи с задачей нахождения решений неравенства 2<х<6 среди чисел 1; 3; 5; 7.
Д 109. Докажите, что числа 575, 10 053, 3627, 565 656 являются составными.
110. С помощью таблицы простых чисел, помещенной на форзаце учебника, выберете из чисел 122, 132, 153, 157, 187, 499, 550, 621, 881, 865 и 909 простые числа.
111. Запишите все делители числа 90. Выпишите из них те, которые являются простыми числами.
112. Разложите на два множителя всеми возможными способами числа 30, 33, 42, 99. Способы, при которых произведения отличаются только порядком множителей, считайте за один способ.
113. Периметр прямоугольника 66 дм. Длина его одной стороны составляет периметра. Найдите площадь прямоугольника.
114. Найдите значение выражения (15,964:5,2 -1,2) 0,1.
Н.Я.Виленкин, А.С. Чесноков, С.И. Шварцбурд, В.И.Жохов, Математика для 6 класса, Учебник для средней школы
Рефераты, домашняя работа по математике скачать , учебники скатать бесплатно, онлайн уроки, вопросы и ответы
В этой статье мы изучим простые и составные числа . Сначала дадим определения простых и составных чисел, а также приведем примеры. После этого докажем, что простых чисел бесконечно много. Далее запишем таблицу простых чисел, и рассмотрим методы составления таблицы простых чисел, особо тщательно остановимся на способе, получившем название решето Эратосфена. В заключение осветим основные моменты, которые нужно учитывать при доказательстве того, что данное число является простым или составным.
Навигация по странице.
Простые и составные числа – определения и примеры
Понятия простые числа и составные числа относятся к , которые больше единицы. Такие целые числа, в зависимости от количества их положительных делителей, подразделяются на простые и составные числа. Таким образом, чтобы понять определения простых и составных чисел , нужно хорошо представлять себе, что такое делители и кратные .
Определение.
Простые числа – это целые числа, большие единицы, которые имеют только два положительных делителя, а именно самих себя и 1 .
Определение.
Составные числа – это целые числа, большие единицы, которое имеют, по крайней мере, три положительных делителя.
Отдельно заметим, что число 1 не относится ни к простым, ни к составным числам. Единица имеет только один положительный делитель, которым является само число 1 . Этим число 1 отличается от всех остальных целых положительных чисел, которые имеют не менее двух положительных делителей.
Учитывая, что целые положительные числа – это , и что единица имеет только один положительный делитель, можно привести другие формулировки озвученных определений простых и составных чисел.
Определение.
Простыми числами называют натуральные числа, которые имеют только два положительных делителя.
Определение.
Составными числами называют натуральные числа, имеющие более двух положительных делителей.
Отметим, что каждое целое положительное число, большее единицы, есть либо простое, либо составное число. Иными словами, не существует ни одного такого целого числа, которое не являлось бы ни простым, ни составным. Это следует из свойства делимости , которое гласит, что числа 1 и a всегда являются делителями любого целого числа a .
Исходя из информации предыдущего абзаца, можно дать следующее определение составных чисел.
Определение.
Натуральные числа, которые не являются простыми, называются составными .
Приведем примеры простых и составных чисел .
В качестве примеров составных чисел приведем 6 , 63 , 121 и 6 697 . Это утверждение тоже нуждается в пояснении. Число 6 имеет кроме положительных делителей 1 и 6 еще и делители 2 и 3 , так как 6=2·3 , поэтому 6 – действительно составное число. Положительными делителями 63 являются числа 1 , 3 , 7 , 9 , 21 и 63 . Число 121 равно произведению 11·11 , поэтому его положительными делителями являются 1 , 11 и 121 . А число 6 697 составное, так как его положительными делителями кроме 1 и 6 697 являются еще и числа 37 и 181 .
В заключение этого пункта хочется еще обратить внимание на то, что простые числа и взаимно простые числа – это далеко ни одно и то же.
Таблица простых чисел
Простые числа, для удобства их дальнейшего использования, записывают в таблицу, которую называют таблицей простых чисел. Ниже представлена таблица простых чисел до 1 000 .
Возникает логичный вопрос: «Почему мы заполнили таблицу простых чисел только до 1 000 , разве нельзя составить таблицу всех существующих простых чисел»?
Ответим сначала на первую часть этого вопроса. Для большинства задач, при решении которых придется использовать простые числа, нам будет вполне достаточно простых чисел в пределах тысячи. В остальных случаях, скорее всего, придется прибегать к каким-либо специальным приемам решения. Хотя, несомненно, мы можем составить таблицу простых чисел до сколь угодно большого конечного целого положительного числа, будь то 10 000 или 1 000 000 000 , в следующем пункте мы поговорим о методах составления таблиц простых чисел, в частности, разберем способ, получивший название .
Теперь разберемся с возможностью (а точнее с невозможностью) составления таблицы всех существующих простых чисел. Мы не можем составить таблицу всех простых чисел, потому что простых чисел бесконечно много. Последнее утверждение представляет собой теорему, которую мы докажем после следующей вспомогательной теоремы.
Теорема.
Наименьший положительный и отличный от 1 делитель натурального числа, большего единицы, является простым числом.
Доказательство.
Пусть a – натуральное число, большее единицы, и b – наименьший положительный и отличный от единицы делитель числа a . Докажем, что b – простое число методом от противного.
Предположим, что b – составное число. Тогда существует делитель числа b (обозначим его b 1 ), который отличен как от 1 , так и от b . Если также учесть, что абсолютная величина делителя не превосходит абсолютной величины делимого (это мы знаем из свойств делимости), то должно выполняться условие 1
Так как число a делится на b по условию, и мы сказали, что b делится на b 1 , то понятие делимости позволяет говорить о существовании таких целых чисел q и q 1 , что a=b·q и b=b 1 ·q 1 , откуда a= b 1 ·(q 1 ·q) . Из следует, что произведение двух целых чисел есть целое число, тогда равенство a=b 1 ·(q 1 ·q) указывает на то, что b 1 является делителем числа a . Учитывая полученные выше неравенства 1
Теперь мы можем доказать, что простых чисел бесконечно много.
Теорема.
Простых чисел бесконечно много.
Доказательство.
Предположим, что это не так. То есть, предположим, что простых чисел всего n штук, и эти простые числа есть p 1 , p 2 , …, p n . Покажем, что мы всегда можем найти простое число, отличное от указанных.
Рассмотрим число, p равное p 1 ·p 2 ·…·p n +1 . Понятно, что это число отлично от каждого из простых чисел p 1 , p 2 , …, p n . Если число p - простое, то теорема доказана. Если же это число составное, то в силу предыдущей теоремы существует простой делитель этого числа (обозначим его p n+1 ). Покажем, что этот делитель не совпадает ни с одним из чисел p 1 , p 2 , …, p n .
Если бы это было не так, то по свойствам делимости произведение p 1 ·p 2 ·…·p n делилось бы на p n+1 . Но на p n+1 делится и число p , равное сумме p 1 ·p 2 ·…·p n +1 . Отсюда следует, что на p n+1 должно делиться второе слагаемое этой суммы, которое равно единице, а это невозможно.
Так доказано, что всегда может быть найдено новое простое число, не заключающееся среди любого количества наперед заданных простых чисел. Следовательно, простых чисел бесконечно много.
Итак, в силу того, что простых чисел бесконечно много, при составлении таблиц простых чисел всегда ограничивают себя сверху каким-либо числом, обычно, 100 , 1 000 , 10 000 и т.д.
Решето Эратосфена
Сейчас мы обсудим способы составления таблиц простых чисел. Предположим, что нам нужно составить таблицу простых чисел до 100 .
Самым очевидным методом решения этой задачи является последовательная проверка целых положительных чисел, начиная с 2 , и заканчивая 100 , на наличие положительного делителя, который больше 1 и меньше проверяемого числа (из свойств делимости мы знаем, что абсолютная величина делителя не превосходит абсолютной величины делимого, отличного от нуля). Если такой делитель не найден, то проверяемое число является простым, и оно заносится в таблицу простых чисел. Если же такой делитель найден, то проверяемое число является составным, оно НЕ заносится в таблицу простых чисел. После этого происходит переход к следующему числу, которое аналогично проверяется на наличие делителя.
Опишем несколько первых шагов.
Начинаем с числа 2 . Число 2 не имеет положительных делителей, кроме 1 и 2 . Следовательно, оно простое, поэтому, заносим его в таблицу простых чисел. Здесь следует сказать, что 2 является наименьшим простым числом. Переходим к числу 3 . Его возможным положительным делителем, отличным от 1 и 3 , является число 2 . Но 3 на 2 не делится, поэтому, 3 – простое число, и его также нужно занести в таблицу простых чисел. Переходим к числу 4 . Его положительными делителями, отличными от 1 и 4 , могут быть числа 2 и 3 , проверим их. Число 4 делится на 2 , поэтому, 4 – составное число, и его не нужно заносить в таблицу простых чисел. Обратим внимание на то, что 4 – наименьшее составное число. Переходим к числу 5 . Проверяем, являются ли его делителем хотя бы одно из чисел 2 , 3 , 4 . Так как 5 не делится ни на 2 , ни на 3 , ни на 4 , то оно простое, и его надо записать в таблицу простых чисел. Дальше происходит переход к числам 6 , 7 , и так далее до 100 .
Такой подход к составлению таблицы простых чисел является далеко не идеальным. Так или иначе, он имеет право на существование. Отметим, что при этом способе построения таблицы целых чисел можно использовать признаки делимости , которые немного ускорят процесс поиска делителей.
Существует более удобный способ для составления таблицы простых чисел, называемый . Присутствующее в названии слово «решето» не случайно, так как действия этого метода помогают как бы «просеять» сквозь решето Эратосфена целые числа, большие единицы, чтобы отделить простые от составных.
Покажем решето Эратосфена в действии при составлении таблицы простых чисел до 50 .
Сначала записываем по порядку числа 2, 3, 4, …, 50 .
Первое записанное число 2 является простым. Теперь от числа 2 последовательно перемещаемся вправо на два числа и зачеркиваем эти числа, пока не доберемся до конца составляемой таблицы чисел. Так будут вычеркнуты все числа, кратные двум.
Первым следующим за 2 невычеркнутым числом является 3 . Это число простое. Теперь от числа 3 последовательно перемещаемся вправо на три числа (учитывая и уже зачеркнутые числа) и вычеркиваем их. Так будут вычеркнуты все числа, кратные трем.
Первым следующим за 3 невычеркнутым числом является 5 . Это число простое. Теперь от числа 5 последовательно перемещаемся вправо на 5 чисел (учитываем и зачеркнутые ранее числа) и вычеркиваем их. Так будут вычеркнуты все числа, кратные пяти.
Дальше вычеркиваем числа, кратные 7 , затем, кратные 11 и так далее. Процесс заканчивается, когда не останется чисел для вычеркивания. Ниже показана законченная таблица простых чисел до 50 , полученная с помощью решета Эратосфена. Все незачеркнутые числа являются простыми, а все зачеркнутые числа – составными.
Давайте еще сформулируем и докажем теорему, которая позволит ускорить процесс составления таблицы простых чисел при помощи решета Эратосфена.
Теорема.
Наименьший положительный и отличный от единицы делитель составного числа a не превосходит , где - из a .
Доказательство.
Обозначим буквой b наименьший и отличный от единицы делитель составного числа a (число b является простым, что следует из теоремы, доказанной в самом начале предыдущего пункта). Тогда существует такое целое число q , что a=b·q (здесь q – положительное целое число, что следует из правил умножения целых чисел), причем (при b>q нарушится условие, что b – наименьший делитель числа a , так как q также является делителем числа a в силу равенства a=q·b ). Умножив обе части неравенства на положительное и большее единицы целое число b (это нам позволяют сделать ), получаем , откуда и .
Что же нам дает доказанная теорема, касательно решета Эратосфена?
Во-первых, вычеркивание составных чисел, кратных простому числу b следует начинать с числа, равного (это следует из неравенства ). Например, вычеркивание чисел, кратных двум, следует начинать с числа 4 , кратных трем – с числа 9 , кратных пяти – с числа 25 , и так далее.
Во-вторых, составление таблицы простых чисел до числа n с помощью решета Эратосфена можно считать законченным тогда, когда будут вычеркнуты все составные числа, кратные простым числам, не превосходящим . В нашем примере n=50 (так как мы составляем таблицу простых чисел до 50 ) и , поэтому решето Эратосфена должно отсеять все составные числа, кратные простым числам 2 , 3 , 5 и 7 , которые не превосходят арифметического квадратного корня из 50 . То есть, нам дальше не нужно заниматься поиском и вычеркиванием чисел, кратных простым числам 11 , 13 , 17 , 19 , 23 и так далее до 47 , так как они уже будут вычеркнуты, как кратные меньшим простым числам 2 , 3 , 5 и 7 .
Данное число простое или составное?
Некоторые задания требуют выяснения, является ли данное число простым или составным. В общем случае эта задача далеко не проста, особенно для чисел, запись которых состоит из значительного количества знаков. В большинстве случаев приходится искать какой-либо специфический способ ее решения. Однако мы попробуем дать направление ходу мыслей для несложных случаев.
Несомненно, можно попробовать воспользоваться признаками делимости для доказательства того, что данное число является составным. Если, к примеру, некоторый признак делимости показывает, что данное число делится на некоторое целое положительное число большее единицы, то исходное число является составным.
Пример.
Докажите, что число 898 989 898 989 898 989 составное.
Решение.
Сумма цифр данного числа равна 9·8+9·9=9·17 . Так как число, равное 9·17 делится на 9 , то по признаку делимости на 9 можно утверждать, что исходное число также делится на 9 . Следовательно, оно составное.
Существенный недостаток такого подхода заключается в том, что признаки делимости не позволяют доказать простоту числа. Поэтому при проверке числа на то, является ли оно простым или составным, нужно действовать иначе.
Самый логичный подход состоит в переборе всех возможных делителей данного числа. Если ни один из возможных делителей не будет истинным делителем данного числа, то это число будет простым, в противном случае – составным. Из теорем, доказанных в предыдущем пункте, следует, что делители данного числа a нужно искать среди простых чисел, не превосходящих . Таким образом, данное число a можно последовательно делить на простые числа (которые удобно брать из таблицы простых чисел), пытаясь найти делитель числа a . Если будет найден делитель, то число a – составное. Если же среди простых чисел, не превосходящих , не окажется делителя числа a , то число a – простое.
Пример.
Число 11 723 простое или составное?
Решение.
Выясним, до какого простого числа могут быть делители числа 11 723 . Для этого оценим .
Достаточно очевидно, что 
, так как 200 2 =40 000
, а 11 723<40 000
(при необходимости смотрите статью сравнение чисел
). Таким образом, возможные простые делители числа 11 723
меньше числа 200
. Это уже значительно облегчает нашу задачу. Если бы мы этого не знали, то нам бы пришлось перебирать все простые числа не до 200
, а вплоть до числа 11 723
.
При желании можно оценить более точно. Так как 108 2 =11 664
, а 109 2 =11 881
, то 108 2 <11 723<109 2
, следовательно, 
. Таким образом, любое из простых чисел, меньших 109
, потенциально является простым делителем данного числа 11 723
.
Теперь мы будем последовательно делить число 11 723 на простые числа 2 , 3 , 5 , 7 , 11 , 13 , 17 , 19 , 23 , 29 , 31 , 37 , 41 , 43 , 47 , 53 , 59 , 61 , 67 , 71 , 73 , 79 , 83 , 89 , 97 , 101 , 103 , 107 . Если число 11 723 разделится нацело на одно из записанных простых чисел, то оно будет составным. Если же оно не делится ни на одно из записанных простых чисел, то исходное число простое.
Не будем описывать весь этот монотонный и однообразный процесс деления. Сразу скажем, что 11 723
Учитель математики МАОУ СОШ №71 г. Краснодара Степанченко Е.М.
Урок по теме « Простые и составные числа» 6-класс
Цели:
Ввести понятие простых и составных чисел;
Научить отличать простые числа от составных чисел, основываясь на определении этих чисел;
Научить работать с таблицей простых чисел;
Способствовать развитию активного познавательного интереса к предмету;
Научить сравнивать различные объекты: выделять из множества один или несколько объектов, имеющих общие свойства;
Тип урока: Урок ознакомления с новым материалом.
Оборудование: компьютер, мультимедийный проектор.
Ход урока
I. Организационный момент. Мотивация к учебной деятельности
Пифагор провозгласил, что числа правят миром, и поэтому он придумывал, как с помощью чисел изображать такие понятия, как совершенство и дружба. А вам интересно, что у него получилось? Тогда начинаем.
II .Подготовка к работе на основном этапе
Сейчас я расскажу вам сказочную историю из жизни чисел.
Однажды встретились трое друзей: число 24, единица и число 5. Пятерочка поинтересовалась у своих друзей, как дела? Число 24 рассказало, что 24сентября был День его рождения. На праздник были приглашены в гости все делители числа 24.
Кто пришел к нему в гости? Обучающиеся отвечают (1, 2, 3, 4, 6, 8,12).
Пятерочка расстроилась, ведь на ее День рождения 5 сентября кроме единицы и самой пятерочки никого не было.
Почему? Попробуйте объяснить. Ребята говорят, что у числа 5 только два делителя 1 и само число 5.
А единица похвасталась, что ее пригашают все.
Ребята, а почему единицу приглашают в качестве делителя все числа? Ребята отвечают, что любое число делится на 1.
Число 24 спросило единицу, а к тебе кто приходил на праздник. И тут расстроилась единица.
Ребята, почему расстроилась единица? Ребята отвечают, что у единицы только один делитель, само число 1.
Ой, какие мы разные, сказали друзья. Ребята, в чем отличие между этими числами?
Ученики отвечают, что число24 имеет 8 делителей. У числа 5 всего 2 делителя, а у числа 1 только один делитель.
III . Подготовка к работе на основном этапе
А сейчас выполним следующее задание. На каждой парте лежит лист с заданием. Нужно заполнить таблицу, работаете парами. Кто первый закончит, тот поднимает сигнальную карточку.
Делители числа
Количество делителей
1,2,3,5,6,10,15,30
1,2,3,4,6,9,12,18,36
Вопрос, на какие группы можно разделить данные числа? Почему?
Ответ: на три группы:
1-я группа – числа, которые имеют только два делителя. Такие числа называют простыми.
2-я группа – числа, которые имеют более двух делителей. Такие числа называют составными.
3-я группа – число 1, у него только один делитель. Число1 не является ни простым ни составным.
Давайте вместе закончим заполнение таблицы. В последнем столбце запишите название данных чисел. Проверяем. Один ученик читает название чисел.
7,17,19 – простые числа; 10,30,36 – составные числа. Проверяем по слайду.
Попробуйте самостоятельно сформулировать определения простых и составных чисел.
Натуральное число называется простым, если оно имеет только два делителя: единицу и само это число.
Натуральное число называется составным, если оно имеет более двух делителей.
Назовите несколько составных чисел. Ребята называют. Для подтверждения, что число составное нужно назвать хотя бы один дополнительный делитель (кроме 1 и самого этого числа).
Назовите несколько простых чисел. Ребята называют.
А число 419 простое или составное? Попробуйте применить признаки делимости. Повторить признаки делимости на2, на3, на 5, на9, на 10. К сожалению это нам не помогло. Как быть. Наш урок может затянуться, пока мы будем проверять все возможные делители. Я вам подскажу. Откройте форзац учебника, перед вами таблица простых чисел (до 997). Ребята находят число 419 в таблице. Эта таблица будет вашей помощницей.
Рассмотрите внимательно таблицу и ответьте на мои вопросы.
назовите наименьшее простое число (2)
что вы еще можете сказать про число 2 (оно четное)
есть ли среди простых чисел еще четные числа? (нет, 2 единственное четное простое число)
назовите наименьшее двузначное простое число (11), а наибольшее (97)
сколько однозначных простых чисел? (4 числа), а двузначных (21), а трехзначных (143)
что вы можете сказать о числах 29 и 31, 41 и 43, 59 и 61 и т.д. (они выделены красным цветом. Почему? (31-29= 2, 43-41=2,61-59=2) такие числа называют близнецами.
Назовите пары близнецы среди трехзначных чисел (например 521 и 523)
IV . Историческая справка
Великий русский математик Пафнутий Львович Чебышев занимался изучением свойств простых чисел. Он доказал, что между любым натуральным числом, большим 1, и числом, вдвое большим, всегда имеется не менее одного простого числа,
Проверим этот факт с помощью нашей таблицы. Ребята называют число, затем удваивают его и проверяют по таблице, есть ли между этими числами простое число.
V . Практическая деятельность учащихся
У доски работает ученик. Дидактический материал А.С.Чесноков, К.И.Нешков Дидактические материалы по математике стр59 №15, №16, №17
Все вместе проверяем. Ученик, выполнявший задания комментирует.
48: 1, 2 , 3 , 4, 6, 8, 12, 16, 24, 48
67< Z < 73; Z =68; Z =69
№16
13; 17
Второй ученик по учебнику стр.17 №95
2968 составное т.к. оно делится на 2 (имеет больше двух делителей).
3600 составное т.к. оно делится на 2 , на 3 на 5 (имеет больше двух делителей).
888888 составное т.к. оно делится на 2, на 4, на 8, на 11 (имеет больше двух делителей).
676767 составное т.к. оно делится на 67 (имеет больше двух делителей).
Третий ученик №96
а) нет, т.к. произведение двух чисел будет делиться на каждый множитель.3*5=15; 15:3=5;15:5=3 (больше двух делителей)
То есть составное число можно разложить на простые множители. Примеры: 10=2*5; 14=2*7; 30=2*3*5; 77=7*11; 65=5*13; 70=2*5*7;
IV . Открытие новых знаний
Следующее задание: запишите в тетради число 6, это число простое или составное? (составное)
Найдите все делители этого числа, а теперь сложите их все, кроме самого числа 6. Что получилось? (1+2+3=6) Удивительно, не правда ли. Число 6 совершенное число. Может быть, поэтому шестое место считалось самым почетным у древних римлян.
Число 6 первое совершенное число.
Составьте алгоритм нахождения совершенного числа. Запишите ваш алгоритм на листе, который лежит у вас на парте. Работаем в парах. Ребята записывают алгоритм. Зачитывают несколько вариантов. Ученики корректируют. Совместными усилиями составили алгоритм:
найти все делители числа
сложить все делители, отличающиеся от этого числа
если результат сложения будет равен самому числу, то это число совершенное
А теперь, предлагаю вам найти следующее совершенное число. Продолжаем работать в парах.
Ребята находят следующее совершенное число 28 (1+2+4+7+14=28). Луна совершает оборот вокруг Земли за 28 дней.
По мере того как натуральные числа возрастают, совершенные числа встречаются все реже. Третье совершенное число – 496 , четвертое 8128, пятое 33 550 336 и т.д.
V . Рефлексия
Сегодня на уроке мы узнали много нового. А подведем итоги нашей работы мы необычным способом. Составим синквейн. Синквейн – это творческая работа, которая имеет короткую форму стихотворения, состоящего из пяти нерифмованных строк.
Синквейн – это не простое стихотворение оно должно быть написано по следующим правилам:
1 строка – одно существительное, выражающее главную тему синквейна.
2 строка – два прилагательных, выражающих главную мысль.
3 строка – три глагола, описывающие действия в рамках темы.
4 строка – фраза, несущая определенный смысл.
5 строка – заключение в форме существительного (ассоциация с первым словом).
Ребята предлагают варианты, все вместе составляем синквейн.
Числа
Простые, составные
Находить, делить, раскладывать
Правят миром
Знание
VI. Домашнее задание
Стр.19-20 №115, 116, 117, 118. Творческое задание: Узнать, какие числа называют дружественными, подготовить сообщение в виде сказки или детективного расследования.
«Простые и составные числа» — Учебник по математике 6 класс (Виленкин)
Краткое описание:
В данном разделе Вы узнаете, какие числа называют простыми, а какие составными, научитесь быстро определять какое перед Вами число.
Повторим: все натуральные числа больше 1 можно поделить на две части: простые и составные. Простое число – это натуральное число, у которого есть только два делителя, оно делится на единицу и на самого себя (11, 9, 5). Наименьшее простое число – это ужас отличника — число 2.
Составные числа имеют больше двух делителей (6 делится на 6, на 1, на 2, на 3).
Число 1 делится только на 1, оно никакое — ни простое, ни составное.
Как быстро узнать, что двухзначное или трехзначное число является простым или составным? Нужно найти еще хотя бы один делитель, кроме 1 и его самого. Для этого используем уже выученные признаки деления. Какое число 368? Оно делится на 2, значит, имеет больше двух делителей (делится на 1, на 368 и на 2).
Иногда встречается такое число, по которому тяжело сразу же сказать какое оно. Тогда, на помощь придет таблица простых чисел. Смотрим, есть ли в таблице 121? Нет, значит, это число составное. Но какие у него делители? Число 121 делиться на 121, 1, а еще на число 11. Давайте проверим 11*11=121. Еще такие же числа 169 (13*13=169), 289 (17*17=289), 361 (19*19). Попробуйте для начала запомнить их.
