Последние цифры степеней. Исследовательская работа "последние цифры степеней"

МОУ «Шербакульская средняя общеобразовательная школа №1»

Научное сообщество учащихся «Поиск»

Тема: « Последняя цифра степени.»

Выполнила: ученица 7 «б» класса

Терентьева Валентина

Руководитель: Пушило Т.Л.

р.п. Шербакуль

2010 – 2011 уч. год

· Введение.

· Цели работы.

· Последняя цифра степени.

· Закономерности возведения в степень

· Две последних цифры степени.

· Задачи.

· Заключение.

· Использованная литература.

Введение.

Однажды, листая страницы книги «Тысяча проблемных задач по математике», я увидела с первого взгляда очень трудную задачу, точнее сказать пример надо было найти последнюю цифру суммы

11989 + 21989 + 31989 + 41989 + 51989 +…+ 19891989 .

Потом я подумала, а ведь должен же быть, какой-нибудь рациональный способ вычисления и тут я принялась считать…

Гипотеза: Можно ли сказать какой будет последняя цифра у любой степени?

Цели работы:

· Узнать, можно ли построить таблицу последних цифр различных степеней.

· Найти закономерность в них.

· Используя таблицу практиковаться на более легких задачах и решить вышеупомянутый пример и если получится более сложные.

Последняя цифра степени.

Приведем небольшое исследование: выясним есть ли какая-нибудь закономерность в том, как меняется последняя цифра числа 2n, где n – натуральное число, с изменением показателя n . Для этого рассмотрим таблицу:

Мы видим, что через каждые четыре шага последняя цифра повторяется. Заметив это, нетрудно определить последнюю цифру степени 2n для любого показателя n .

В самом деле, возьмем число 2100. Если бы мы продолжили таблицу, то оно попало бы в столбец, где находятся степени 24, 28, 212, показатели которых кратны четырем. Значит, число 2100, как и эти степени, оканчивается цифрой 6.

Возьмем к примеру, 222, если проверить, просто посчитав, то получится 4194304 – последняя цифра 4.

Теперь попробуем пользоваться таблицей, но в таблице 4 числа, а показатель степени 22, однако, после последнего числа этот «круг» начинается заново. Поэтому, показатель степени 22 делим на 4, получаем число 5 и остаток 2 т.е мы сделаем 5 «кругов», и отсчитаем ещё 2 в перед, а второе число – это 4, значит, таблица работает.

А теперь посмотрим, можно ли составить таблицы для остальных чисел. Все описывать не буду, лишь скажу, что у меня получилось составить таблицу для всех чисел от 1 до 10, а далее будет повторяться, допустим, у 12 последние числа будут такие же, как и у 2, а у 25 – так же, как и у 5.

Закономерности возведения в степень:

• Запись числа, являющегося полным квадратом, может оканчиваться только цифрами 0, 1, 4, 5, 6 или 9.
• Если запись числа оканчивается цифрой 0, 1, 5 или 6, то возведение в любую степень не изменит последние цифры.
• При возведении любого числа в пятую степень его последняя цифра не изменится.
• Если число оканчивается цифрой 4 (или 9), то при возведении в нечетную степень последняя цифра не изменяется, а при возведении в четную степень изменится на 6 (или 1 соответственно).
• Если число оканчивается цифрой 2, 3, 7 или 8, то при возведении в степень возможны четыре различных цифры.

Две последних цифры степени.

Мы теперь знаем, что последняя цифра рано или поздно будет повторяться. Но как же обстоит дело с 2-мя последними цифрами? Я осмелюсь предположить, что не только 2, но и 3 и более последних цифр будут повторяться. Что ж проверим это, так же я заметила, что периоды из прошлой таблицы просто увеличились в 5 раз, кроме чисел 5 и 10, а про число 1 я писать не стала, так как результат всегда будет 1.

(Красным кругом выделен период)

Заметим, что у некоторых чисел, например 1-е не входит в период, так как, например, у числа 2, после последнего числа 52, будет 04, а не 02, поэтому оно само не входит в этот период, следовательно, перед тем как вычислять последние 2 цифры надо будет вычесть из показателя степени 1.

К сожалению, с 2-мя последними цифрами не получится как с 1-й, и последние 2 цифры 3 не будут одинаковы с 2-мя последними цифрами 13, и таблицу для остальных надо составлять отдельно.

По этим таблицам, видно, что числа отличаются, а совпадает только последняя цифра.

Думаю, что таблицу с 3-мя последними цифрами составлять нет смысла, потому что я хочу найти рациональные способы, где не надо много вычислять, а в этой таблице, у чисел, которых раньше был период 20 чисел будет по 100, поэтому я буду составлять их только по необходимости у таких чисел как 4, 5, 6, 7 и 9.

Задачи.

Задача 1.

Найдите 2 последние цифры числа 81989 .

В таблице 2-х последних цифр, у числа 8 период 20, из показателя степени отнимаем 19800, именно столько раз, период пройдет полностью и остановиться на 1989 – 1980 = 9, а на девятом числе, а 9-ое число это 28.

Ответ: последние 2 цифры числа 81989 – 28.

Задача 2.

На контрольной работе по перекрашиванию юный хамелеон перекрашивается по очереди из красного -> в желтый -> зелёный -> синий -> фиолетовый -> красный -> жёлтый -> зелёный и т.д. перекрасился он 2010 раз и начав с красного он в конце стал синим, но известно что он допустил ошибку, покраснел в тот момент, когда должен был приобрести другой цвет. Какого он был цвета перед этим покраснением?

Заметим, что здесь период повторения цветов равен 5. Красный цвет будет встречаться на числах оканчивающихся на 0 и 5. Значит и должен он был закончить снова на красном. Поэтому чтобы найти ошибку перейдём сразу к 2005 перекрашиванию. Теперь просто будем считать по очереди меняя цвета до 2010-го. Сразу же смотрим что он сделал ошибку допустим после жёлтого, тогда получается 2005-красный, 2006 – жёлтый 2007- снова красный (это его ошибка), 2008 - жёлтый, 2009 -зелёный, 2010 – синий.

Ответ: перед ошибочным покраснением хамелеон был жёлтым.

Задача 3.

Сейчас на часах 10:00. Какое время они будут показывать через 102938475 часов?

У часов период повторения равен 24, значит число 102938475 разделить на 24 = 4289103,12… 102938475 - (4289103 * 24) = 3. Значит время которое часы будут показывать через 102938475 часов равно 10+3 = 13 часов.

Ответ: через 102938475 часы будут показывать 13:00.

Заключение.

Я поняла как можно пользоваться этим признаком, составила таблицы, с помощью которых можно определять не только 1-ну но и 2 последние цифры и научилась решать подобные задачи. Думаю что я добилась того что хотела.

Основная часть

I. Нахождение последней цифры в записи степени натурального числа.

После изучения темы “Степень с натуральным показателем” была предложена такая задача: найти последнюю цифру степеней:

Мы заметили, что в первом случае показатели степеней составные числа , а во втором случае показатели степеней простые числа. В обоих случаях есть основания четные и нечетные . Мы сначала попробовали представить степени в виде произведения степеней с тем же основанием и одинаковыми показателями, затем воспользовались со свойствами степеней с натуральными показателями

Например, = *** или

В первом случае узнали последнюю цифру степени . Это 3. А дальше определили искомую цифру как последнюю цифру числа . Получили 1. Во втором случае сначала нашли последнюю цифру степени . Это 1. А 1 в любой степени -1. Второй способ нам понравился больше. Аналогично нашли последнюю цифру остальных степеней.

В ходе решения таких задач мы поняли, чтовсегда оканчивается (при натуральном) n на 6.

Но вторая задача достаточно сложная, так как показатели степеней простые числа и мы не можем представить эти степени в виде произведения степеней с одинаковыми показателями, как делали раньше. Но мы нашли способы решения.

= * * * *					или
9	9	9	9	3	1		3
				3
		1		3		3
			3

Значит, последняя цифра степени равна 3.

Мы решили найти более удобный, универсальный способ нахождения последней цифры степени.

Решили заполнить таблицу, где в первой строке написаны цифры, которыми оканчиваются записи натуральных чисел. Во - второй строке - цифры, которыми оканчиваются соответствующие квадраты, в третьей – кубы и т.д.

Мы заполнили пятую строку, затем шестую и удивились. Оказывается, пятая степень числа оканчивается той же цифрой, что и первая степень числа; а шестая степень числа оканчивается той же цифрой, что и вторая степень этого числа; седьмая степень – что и третья степень этого числа.

К нашему удивлению, результаты в таблице повторяются через каждые четыре строки.

После решения этих примеров и заполнения таблицы мы пришли к выводу, что:

• Во-первых, квадрат натурального числа может оканчиваться любой цифрой;
• Во-вторых, куб натурального числа может оканчиваться любой цифрой;
• В-третьих, четвертая степень натурального числа может оканчиваться одной из цифр: 0, 1, 5, 6;
• В-четвертых, пятая степень натурального числа оканчивается той же цифрой, что и само число;
• В-пятых, если запись натурального числа оканчивается на 1, на 5, на 6, то любая степень этого числа оканчивается соответственно на 1, на 5, на 6;
• В-шестых, нечетные степени числа 4 оканчиваются цифрой 4, а четные - цифрой 6.

Мы поставили перед собой такую задачу, а нельзя ли найти способ определения последней цифры степени по остатку от деления ее показателя на 4.

II. Составление алгоритма нахождения последней цифры степени по остатку от деления ее показателя на 4.

Вернулись к нашим же примерам.

Найти последнюю цифру степеней: , , , ;.

Итак, мы заметили, что если остаток равен 0, то для всех нечетных оснований , кроме чисел, оканчивающихся на 5, искомая цифра равна 1 , а для четных , искомая цифра равна 6.

Полезно запомнить следующее правило: последняя цифра произведения двух чисел равна последней цифре произведения последних цифр сомножителей. В частности, последняя цифра произведения зависит только от последних цифр сомножителей.

а) Начнём выписывать последние цифры степеней двойки. На каждом шаге будем умножать результат предыдущего шага на 2 и, если получается двузначное число, брать его последнюю цифру. Получим: 2 1 = 2, 2 4 =4, 2 3 =8, 2 4 = 16 → 6, 2 5 → 6·2 = 12 → 2, 2 6 → 2· 2 = 4, 2 7 → 4· 2 = 8, 2 8 → 8· 2 = 16 → 6, и т. д. Заметим, что последние цифры чередуются в такой последовательности: 2, 4, 8, 6, 2, 4, 8, 6... При этом последняя цифра степени зависит от того, с каким остатком показатель степени делится на 4. В частности, всегда, когда показатель степени делится на 4 без остатка (как 4, 8, 100), последняя цифра степени равна 6.

б) Последняя цифра числа 549 49 совпадает с последней цифрой числа 9 49 . Последние цифры степеней девятки чередуются так: 9, 1, 9, 1, 9, 1... То есть если показатель степени нечётный, степень оканчивается на 9. Значит, и число 9 49 , и исходное число 549 49 оканчиваются на 9.

в) Последняя цифра числа 2013 2013 совпадает с последней цифрой числа 3 2013 . Последние цифры степеней тройки чередуются так: 3, 9, 7, 1, 3, 9, 7, 1... То есть последняя цифра степени зависит от того, с каким остатком показатель степени делится на 4. В частности, всегда, когда показатель степени делится на 4 с остатком 1 (как 1, 5, 2013), последняя цифра степени равна 3. А значит, и последняя цифра числа 2013 2013 равна 3.

В книге рекордов Гиннеса написано, что наибольшее известное простое число равно (23021 337 − 1). Не опечатка ли это?

Решение. При каждой операции из числа 10 х + у получается число 3 х + у (здесь y — последняя цифра исходного числа). Разность этих чисел равна 10 x + y − (3 x + y) = 7 х и значит, делится на 7. Значит, при каждом шаге делимость числа на 7 сохраняется (исходное число, очевидно, делилось на 7), а само число уменьшается. Поскольку операцию можно проделывать с любым натуральным числом, в котором больше одной цифры, мы рано или поздно получим однозначное число, кратное 7.